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ε-δ 論法(イプシロンデルタろんぽう、またはエプシロンデルタろんぽう)とは、解析学において、無限小や無限大を用いず、有限な大きさの実数を値にとる変数 ε や δ などを用いて極限を扱う方法である。

◆歴史的背景

ニュートンとライプニッツによって創設された微分積分学は、その根底において無限小(どんな正の数よりも小さな正の数)や無限大(どんな数よりも大きな数)といった実数の範囲では定義できない概念を使っており、この状況は18世紀に入ってオイラーらによって微分積分学が大きな発展を遂げるようになっても改善されなかった。級数の発散や収束に関する議論には無頓着なままで理論を発展させていったため、誤った結論に導かれてしまうことがしばしばあった。19世紀に入ってコーシーやボルツァーノらによって微分積分学をしっかりとした基盤の上に再構築しようとする試みがなされ、収束や連続はよりはっきりと捉えられるようになったが、しかし連続と一様連続の区別はなかったためにコーシーは自著の中でそのことに起因する誤りをおかしている。コーシーは関数の連続性を無限小を使って定義したが、無限小概念でうまくいかない場合には、『解析教程』(Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique) におけるように、ε-δ 論法の形で不等式を使って基礎づけを行うこともあった。ε-δ 論法は1860年代のカール・ワイエルシュトラスの講義によって完成されたもので、これによって無限小や無限大という概念を一切出さずに収束・連続を議論できるようになった。εは"error"、δは"distance"の頭文字であると理解するのが妥当である。実際、コーシーは彼の著作の中でεを"error"の省略として用いている。

なお、ライプニッツ流の無限小・無限大を用いる解析も現代では超実数を用いることで正当化されている。これに関連する事柄は、超準解析(Non-standard analysis または古典的に無限小解析 Infinitesimal analysis とも呼ばれる)という分野で研究されている。

◆ 関数値の収束

関数 f(x) に対して、極限の式

:$\backslash lim\_f(x)\; =\; b$

を ε-δ 論法で書くと

:

となる。 s.t. は such that の略で ∃ の条件を示し、 s.t. 以後の条件を満たすような正の数 δ が存在するということである。すなわち

:任意の正の数 ε に対し、ある適当な正の数 δ が存在して、 0 < |x − a| < δ を満たす全ての実数 xに対し、 |f(x) − b| < ε が成り立つ。

という意味の式である。極限の式の意味は、この ε-δ 論法によって定義される。

この式が成り立っているとすると |x − a| < δ の範囲で実数 x を動かしているうちは、どのように動かしても f(x) と b との差は高々 ε 程度でしかない。 x を a に近付けるという極限操作を行っている最中でもそうである。 ε は任意に選べるので好きなだけ小さくとっておき、それに応じて δ をちゃんと選べば x が |x − a| < δ を満たす限り、 f(x) は b からせいぜい ε しか離れてない範囲に留まり続けなければならないのである。

ε は無限小とは異なり有限の値であるが、好きなだけ小さく選んでよいという条件が極限の概念を捉えることを可能にしているのである。世界中の人が選んだ ε の中で最も小さい数を ε₁ としたとき、ε₁ に対応する δ₁ を選べば 0 < |x − a| < δ₁ ⇒ |f(x) − b| < ε₁ を成り立たせることができるが、ε₁ よりもさらに小さい ε₂ = 0.1 ε₁ という数を考えても同様に対応する δ₂ が存在し 0 < |x − a| < δ₂ ⇒ |f(x) − b| < ε₂ を成り立たせるようにできるということである。ここで何故、小さい数ばかり考えているのかと言えば、今のように ε₂ < ε₁ という大小関係を満たす 2 つの 正の数があったときに、 ε₂ に対して δ₂ を選んでおけば

:

より、δ₂ は ε₁ に対する δ としても使えるからである。小さい ε で δ を与えられるなら、それより大きい ε に対しても δ を与えられる。逆に 小さい ε で δ が存在しない場合、任意の ε に対して、適当な δ が存在するという条件を満たさないため、他の ε に対してどうであろうと、極限の存在を示すことはできない。

:数学的帰納法のように一つの形式を与えるだけで、先の先まで全て捉えることができ、限りなく近付くという極限の概念を有限の値をとる変数だけで説明しているのである。

正の数 ε を任意に選んだとき、条件を満たす正の数 δ が存在するということなので、 δ は ε によって制約を受けている変数である。しかし普通 δ が存在する場合は 1 つとは限らず無数にある。場合に応じて使いやすい δ を 1 つでも見つければ、その存在を示したことになる。例えば

:$\backslash lim\_x^2\; =\; 4$

を ε-δ 論法で考えると、 任意の ε に対して δ = √ε +4 −2 と選べば

:

ならば

:

なので

:

が成り立ち、 x → 2 のとき x² → 4 となることが ε-δ 論法によって示されたことになる。

◆ 数列の収束

数列 a₁, a₂, … , a_n, … が極限の式

:$\backslash lim\_a\_n\; =\; b$

を満たすとは n を大きくしていけば b に限りなく近づいていくということである。

これを ε-δ 論法で考えると

:

となる。 N は自然数の集合を表し

:任意の正の数 ε に対し、ある適当な自然数 N が存在し、自然数 n が N より大きいならば |a_n − b| < ε

が成り立つ。

という意味である。

つまり N をうまく選べば、添字 n が N より大きな a_n は、 b から高々 ε 程度しか離れられないようにできるということである。 ε は自由に選ぶことができるので好きなだけ小さい正の実数を取ればよい。これによって a_n が b に近付くという状況を表現できる。

このように数列の極限を扱う場合は δ ではなく N を使うため ε-δ 論法ではなく ε-N 論法と呼ばれたりもする。

:多くの場合 ε-δ 論法では ε が小さくなるにつれて δ も小さくなっていくが、 ε-N 論法では ε が小さくなれば N を大きくしていかなければならない。

例えば a_n = --> のとき N > --> となるように N を取れば n > N という条件のもとで

:

となるので

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