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数学において集合がコンパクト (compact) であるとは、位相空間の部分集合について、その任意の開被覆が有限部分被覆を持つことである。

数直線上の閉区間や単位円の周および内部からなる閉円板など、ユークリッド空間内の有界閉集合はこの性質を満たす(ハイネ・ボレルの被覆定理)。すなわち、これらはコンパクトな位相空間の例である。

ブルバキでは、ここでいう定義を満たす位相空間を準コンパクト (quasi-compact) と呼び、ハウスドルフの分離公理を満たすものをコンパクトであると呼んでいる。距離空間を扱っている場合など多くの場合には、ハウスドルフの分離公理が満たされるので両者の概念は一致するが、一般には注意が必要である。

◆ 定義

$\backslash mathcal$ をその開集合系とする位相空間(特に距離空間)$(X,\backslash mathcal)$ の部分集合 A に対して、

: $A\; \backslash subset\; \backslash bigcup\_O\_\backslash lambda$

\quad(O_\lambda \in \mathcal)

となるならば、かならず有限個の λ₁, λ₂, ...,λ_n ∈ Λ を選んで

: $A\; \backslash subset\; \backslash bigcup\_^O\_$

\quad(O_ \in \mathcal)

とすることができるとき、A は X のコンパクト集合であるという。位相空間 X 自体がコンパクトであるとき、X のことをコンパクト空間という。位相空間のコンパクト集合に相対位相を入れたものは、それ自身がコンパクト空間である。

◆ 例

・ 実数の開区間は通常の位相でコンパクトではない。

・ 実数の有界閉区間は通常の位相でコンパクトである。(ハイネ・ボレルの被覆定理)

・ 実数全体は通常の位相でコンパクトではない。

・ n 次元球面 Sⁿは、通常の位相でコンパクトである。

・ 有限集合は、それにどんな位相を入れたとしてもコンパクトな位相空間である。

◆性質

・ コンパクト集合から位相空間への連続写像の像はコンパクト集合である。

・ コンパクト空間の閉集合はコンパクトである。

・ ハウスドルフの分離公理を満たす位相空間のコンパクト部分集合は閉集合。

・ コンパクト空間の積空間はコンパクトである。(チコノフの定理。この定理はZFのもとで選択公理と同値である)

・ コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続な全単射写像は同相写像である。

・ 実数のコンパクト部分集合上で連続な実数値関数は一様連続である。(ここから連続関数がリーマン可積分であることが言える)

◆関連概念

・ 点列コンパクト: 空間内の任意の点列は収束する部分列を持つ。

  ・ コンパクトという言葉には、「中身がぎっしりつまった」という意味もあるが、それがもっともらしく見える定義である。

  ・ n 次元ユークリッド空間において、次の三つの条件は同値である。

  ・# 部分集合 A がコンパクトである。

  ・# A は点列コンパクトである。

  ・# A は有界な閉集合である。

  ・ 条件無しでは、コンパクトから点列コンパクトは導かれない。同様に点列コンパクトからコンパクトは導かれない。

・ 擬コンパクト空間(pseudo-ccompact)とは「任意の連続関数は各々有界となる空間」の意味である。

・ アレクサンドロフの一点コンパクト化:いわゆる無限遠点を付け加えること。リーマン球面など。スタブ。

◆関連項目

・ 関数解析学(コンパクト作用素など)

◆参考文献

・クゼ・コスニオフスキ著、加藤十吉訳編 『トポロジー入門』 東京大学出版会、1983年。

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