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位取り記数法(くらいどりきすうほう)は、数の表現方法の一種で、適当な自然数 N (> 1) を指定して N 種類の記号(数字)を用意し、それを列べることによって数を表すための規則である。

位取り記数法で指定された自然数 N をこの記数法の底(てい)または基数といい、底が N であるような位取り記数法を「N 進法」「N 進記数法」という。N 進法では、N 種類の数字からなる記号列において、隣り合う上位の桁(けた)に下位の桁の N 倍の意味を持たせる位取りによって数を表現する。

数を N 進法で表記することを「N 進表記」という。また、N 進表記された数という意味で「N 進数」という呼称を使用することもある。

関連が深い概念として、素数 p 毎に定まるp 進数というものもある。

両者は別概念ではあるが非常に関連があり、整数のp進表記を(可算)無限桁の自然数の範囲に拡張したものがp進整数で、さらにそこに有限桁の少数部分を許したものがp進数である。ただし「無限桁の整数」(の一部は有理数として再解釈できるもののほとんど)はこの項目で扱う普通の数(実数)とは異なる。

N 進法の表記において正負や小数を表現する場合には、符号や小数点が併用される。

日常的に最多用されている記数法は十進法である。また、時間は三百六十単位を基本にして、十二単位、三十単位、六十単位の組合せで表現され、場合によってはこれらの累乗数(十二進法、六十進法。三十進法は今の所使われていない)が用いられる。

◆ 概説

日常用いられている、十倍ごとに位をとる数の表記法は十進法と呼ばれ、零から九までの十通りの数値については、それぞれを表す 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 というような専用の文字(数字)が用意されている。そして 9 より一だけ大きい十を一文字で表記せず、1 と 0 の二文字を組み合わせて 10 と桁を上げて表記する。

同様に、二文字の数字を使えば、00 から 99 まで百通り(十の平方)の数を表現することができる。99 より大きな数を表現するには、更にもう一文字(桁)増やして、100 と表記する(この表記法は 0 が発見されてから可能になった)。

このように、十種類の文字を列べて十通りの数を一桁で表し、百通りの数を二桁で、千通りの数を三桁で、というように十の N 乗通りの数を N 桁で表すのが十進法である。十進表記で記された数を十進数と呼ぶ流儀もある。

ここで、「十」という数を二に変えると二進法に、二十に変えると二十進法になる。例えば、二十進法では普通、0 から 9 までの数字十種類と、A から J までのアルファベット十種類、合わせて二十種類の文字を共に数字として扱い、数を表現する。例えば、十進法では 15 と二桁で表記される数も、二十進法では F と一文字で表記できる。

逆に、八進法では 0 から 7 までの八種類の文字を数字として扱い数を表現するので、十進法で 8 と書き表される数は、八進法では 10 と表され、二桁を必要とする。

◆ 自然数の表記

任意の自然数 T に対し、r を十分大きく取れば、

: $T\; =\; c\_0\backslash cdot\; 1\; +\; c\_1N\; +\; c\_2N^2\; +\; \backslash dots\; +\; c\_rN^r$

を満たし、各 c_i は 0, 1, 2, 3, ..., N - 1 のいずれかであるような を一意的に取ることができる。

実際、次のようにすれば と r を求めることができる(底変換アルゴリズム)。

# T を N で割った商を T₁, 余りを c₀ とする。

# T₁ を N で割った商を T₂, 余りを c₁ とする。

# 以下 T_i を N で割った商を T_i+1, 余りを c_i とする操作を繰り返す。

# T_k = 0 となった時 r = k - 1 とする。

さて、このとき、0 から N - 1 までの自然数に何らかの記号(数字)を対応させておいて、

c_r, c_r-1, ..., c₁, c₀ に対応する記号を順に並べれば、任意の自然数 T を有限個の記号で表記できることになる。

この表記のことを T の N 進表記 という。

なお、上記ではアルゴリズムが終了するまで r が幾つになるか分からないが、対数を用いれば

: $\backslash left\backslash lfloor\backslash log\_N\; T\backslash right\backslash rfloor$

として事前に r を求めておくこともできる。ただし、

: $\backslash lfloor\; x\backslash rfloor$

は x を超えない最大の整数である(床関数参照)。

◇ 例

十進表記の 5213 を五進表記に置き換える場合:

・ 5213 ÷ 5 = 1042 余り 3

・ 1042 ÷ 5 = 208 余り 2

・ 208 ÷ 5 = 41 余り 3

・ 41 ÷ 5 = 8 余り 1

・ 8 ÷ 5 = 1 余り 3

・ 1 ÷ 5 = 0 余り 1

より 5213 = 3 + 2 × 5 + 3 × 5² + 1 × 5³ + 3 × 5⁴ + 1 × 5⁵ となるので、五進表示では 131323 と表すことができる。また、5⁵ = 3125, 5⁶ = 15625 から 5⁵ < 5213 < 5⁶ が成り立っているので、対数を用いれば

:

となり、

: $r=\backslash left\backslash lfloor\backslash log\_5213\backslash right\backslash rfloor\; =5$

が分かる。

二百七十の表記法は、以下のような意味となる。(便宜上、計算式を十進表記で記す)

・ 二進表記(100001110):270 = 256 + 14 = 2⁸ + 2³ + 2² + 2¹

・ 六進表記(1130):270 = 216 + 54 = 6³×1 + 6²×1 + 6¹×3

・ 十進表記(270):270 = 200 + 70 = 10²×2 + 10¹×7

・ 十二進表記(1A6):270 = 144 + 126 = 12²×1 + 12¹×10 + 6

・ 二十進表記(DA):270 = 260 + 10 = 20¹×13 + 10

また、500 と表記される数は、十進表記では五百だが、十二進表記では七百二十を、二十進表記では二千を意味する。

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