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微分積分学(びぶんせきぶんがく, )とは、解析学の基本的な部分を形成する数学の一分野である。微分積分学は、局所的な変化を捉える微分と、局所的な量の大域的な集積をあつかう積分の二本の柱からなり、分野としての範囲をはっきりと確定するのは難しいが、大体多変数実数値関数の微分と積分に関わる事柄(逆関数定理やベクトル解析も)を含んでいる。

微分は、ある関数のある点での接線、あるいは接面を考える演算である。数学的に別の言い方をすると、基本的には複雑な関数を線型近似してとらえようとする考え方である。従って、微分は線型写像になる(ただし、多変数関数の微分を線型写像として捉える考え方は 20 世紀に入ってからのものである)。微分方程式はこの考え方の自然な延長にある。

対して積分は、幾何学的には、曲線、あるいは曲面と座標軸とにはさまれた領域の面積(体積)を求めることに相当している。ベルンハルト・リーマンは(一変数の)定積分の値を、長方形近似の極限として直接的に定義し、連続関数は積分を有することなどを証明した。現在では彼の定義による積分をリーマン積分と呼んでいる。

微分と積分はまったく別の概念でありながら密接な関連性を持ち、一変数の場合、互いに他の逆演算としての意味を持っている。(微分積分学の基本定理)

◆ 歴史

解析学の歴史を参照された。

◆ 関連項目

・アイザック・ニュートン

・ゴットフリート・ライプニッツ

・関孝和

◆ 解説サイト

・[外部リンク] 菅沼研究室(*[外部リンク] 静岡理工科大学総合情報学部)

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・微分積分学 page1