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自然数(しぜんすう、Natural number)とは、個数、もしくは順番(これは正確には有限順序数)を表す一群の数のことである。自然数を 1, 2, 3, … とする流儀と、0, 1, 2, 3, … とする流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学、計算機科学などでよく使われる(詳しくはの節を参照)。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある(この意味では現在は二種類の自然数が共存している)。

集合論の文脈においては、自然数は物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。

正の整数ないしは負でない整数を自然数と同一視することにより、自然数を整数の一部として取扱うことができる。整数と同様に自然数の全体も可算無限集合である。数学の基礎付けにおいては、自然数の間の加法についての形式的な逆元を考えることによって整数が定義されている。

なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数(例えば 3 や 18 )を指して自然数ということもある。

◆ 自然数の歴史と零の地位

自然数は「ものを数える言葉」を起源とし、1 から始まる正の数であったと推定されている。

抽象化における最初の大きな進歩は数を表すための記数法の使用であった。これによって大きな数値を記録することが出来るようになったのである。例えば、バビロニア人は 1 と 10 に対応する数字を用いた60進の位取り記数法を開発していた(バビロニアの記数法 )。

古代エジプト人は 1 から百万までの 10 の累乗それぞれに異なるヒエログリフを割り当てる記数法を用いていた。カルナックから出土して、現在はパリのルーヴル美術館にある、紀元前1500年頃のものとされる石の彫刻には 276 という数値が二つの百と七つの十と六つの一として表記されていた。また、4, 622 という数についても同様であった。

抽象化における更なる進歩は、固有の数字を用いた数としての 零 という概念である。

バビロニア人は紀元前700年までには位取り記数法において零を表す桁というものを用いてはいたが、それは決して最終桁には用いられなかった。

オルメカとマヤの文明では紀元前1世紀までには、数字を離して表記することで零を表す方法が独立に用いられていたが、それらがメソアメリカの外に出ることはなかった。

現代的な概念は628年のインド人数学者ブラーマグプタにさかのぼる。

全ての中世の暦算家(イースターの計算者)たちはディオニュシウス・エクシグウスが525年に始めて以来、零を数として用いたものの、それを表すローマ数字は使われなかった。その代わりに「無」を表すラテン語の nullae が使われた。

抽象的な概念としての数の体系的な最初の研究は通常、古代ギリシアの哲学者、ピュタゴラスとアルキメデスに帰せられる。しかしながら、独立した研究が同時にインド、中国、メソアメリカにおいてなされている。

19世紀、自然数の集合論的な定義がなされた。この定義によれば零(空集合に対応する)を自然数に含める方がより便利である。集合論、論理学、計算機科学などの分野ではこの流儀に従うことが多い一方、他の数学、特に数論などの分野では 0 を自然数には含めない流儀が好まれることが多い。どちらの流儀をとるにしろ、通常は著作あるいは論文毎に定義や注釈で明示されるので、大きな混乱は生じない。とくに混乱を避けたい場合には 0 から始まる自然数を指すために非負整数という用語を用いることもよくある。また、日本における初等中等教育では、自然数は 1 からはじまる、と指導される。

19世紀のドイツの数学者レオポルト・クロネッカーが「整数は神の作ったものだが、他は人間の作ったものである」という言葉を残し、正の整数が自然な数と考えた頃から、自然数という用語が定着したとされるベル。

◆ 形式的な定義

◇ 自然数の公理

自然数がどんなものかは子供でも簡単に理解できるが、その定義は簡単ではない。自然数を初めに厳密に定義しようとしたのはペアノの公理によるものである(1891年、ジュゼッペ・ペアノ)。それによると以下のようになる(ただし、ペアノの原典においては以下とは少し違った形式で公理系が述べられている。ペアノの公理参照)。

・ 自然数 0 が存在する。

・ 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")。

・ 0 はいかなる自然数の後者でもない(0 より前の自然数は存在しない)。

・ 異なる自然数は異なる後者を持つ。つまり a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。

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