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複素数(ふくそすう、)は、実数 a, b と虚数単位 i を用いて a + bi の形で表すことのできる数のことである。四元数、八元数、十六元数などに対して二元数と呼ばれることもある。

◆ 定義

二乗すると-1となる数、つまりx² + 1 = 0 の解の一つを i と書き虚数単位という。 i と実数 a との積を i a あるいは a i と書く。任意の二つの実数 a, b に対し a + bi の形で書かれる数を複素数という。 a, b がともに整数である場合の a + bi をガウスの整数 (Gaussian integer) といい、有理数の場合にはガウスの有理数 (Gaussian rational) という。

複素数 z = a + bi に対し、 a を複素数 z の実部(じつぶ、real part) といい、 b を 複素数 z の虚部(きょぶ、) という。実部と虚部はそれぞれ a = Re z (あるいは $\backslash Re\; z$), b = Im z(あるいは $\backslash Im\; z$) のように表現される。

複素数 z が実数ではない、すなわち虚部が 0 ではないとき (Im z ≠ 0)、 z は虚数(きょすう、)であるといい、実部が 0 のとき (Re z = 0) z は純虚数(じゅんきょすう、)であるという。

虚部の符号だけが異なる複素数 z = a+bi と、z = a − bi は互いに共役(きょうやく、conjugate、本来は共軛)であると言われ、z を z の共役複素数あるいは複素共役という。

:

を z の絶対値 (absolute value, modulus) という。

:複素数は元々、単位の異なる数の組み合わせで書かれる数のことをさす言葉であり、この場合は 1 を単位(素)とする実数と i を単位とする純虚数の和で表されているために複素数という言葉が用いられるようになった。

◆ 基本的な性質

a, b, c, d を実数、 z, v, w を複素数とする。

◇ 四則演算

・$(a+bi)\; +\; (c+di)\; =\; (a+c)\; +\; (b+d)\backslash ,i.$

・$(a+bi)\; -\; (c+di)\; =\; (a-c)\; +\; (b-d)\backslash ,i.$

・$(a+bi)(c+di)\; =\; (ac-bd)\; +\; (bc+ad)\backslash ,i$

・$\backslash frac=\; \backslash frac+\; \backslash frac\backslash ,i.$

・$z\; +\; w\; =\; w\; +\; z$ (和の交換法則)

・$zw\; =\; wz$ (積の交換法則)

・$z\; (v\; +\; w)\; =\; zv\; +\; zw$ (分配法則)

◇ 複素共役(共役複素数)

・ $z\backslash ,$が実数 ⇔ $\backslash overline=z$

・ $z\backslash ,$が純虚数 ⇔ $\backslash overline=-z$

・ (対合)

・ $|z|=|\backslash overline|.$

・ $z\; +\; \backslash overline=\; 2\; \backslash ,\backslash Re\; z.$

・ $z\; -\; \backslash overline=\; 2\; i\; \backslash ,\backslash Im\; z.$

・ $z\backslash overline=\; |z|^2.$

・:特に

・ $\backslash overline=\; \backslash overline+\; \backslash overline.$

・ $\backslash overline=\; \backslash overline\backslash overline.$

・ 。

特に、複素数 z が実数係数の多項式 f(x) の根となるならば z の共役複素数 z も f(x) の根となることがわかる(1746年:ダランベール)。すなわち、f(x) が実数係数多項式ならば

:$f(z)\; =\; 0\; \backslash iff\; f(\backslash bar\; z)\; =\; 0$

が成り立つ。

◇ その他

・ a + bi = c + di ⇔ a = c かつ b = d.

・ |z| = 0 ⇔ z = 0

・ |z + w| ≤ |z| + |w|

・ |zw| = |z| |w|

◆ 幾何的実現

◇ ガウス平面

一つの複素数 x + iy は二つの実数 x, y の組 (x, y) によって特徴付けられる。一方で二つの実数の組はデカルト座標を敷いた平面上の点として特徴付けられる。そこで、複素数を平面上の点と一対一に対応付けることによって、複素数をその内部の点として含む平面を考えることができる。このようにして得られる平面を、ガウス平面 () あるいはアルガン図 ()、複素平面(ふくそへいめん、)などとよぶ。ガウス平面では、x 座標に実部、y 座標に虚部が対応し、 x 軸のことを実軸 ()、 y 軸のことを虚軸 ()と呼ぶ。

複素数 z, w に対して

:$d(z,\backslash ,\; w)\; =\; |z-w|$

によって距離を定めれば C は距離空間となる。この距離は、ガウス平面上で考えると、複素数が普通のユークリッド平面上の点と同じように扱えることが分かる。ガウス平面は複素数の形式的な計算を視覚的に見ることができ、数の概念そのものを拡張した。

:

◇ 極形式

ガウス平面を利用すると、複素数の極座標による表示として極形式 (polar form) を考えることができるようになる。複素数 z = a + ib に、ガウス平面上の点 (a, b) を対応させたとき、この点が極座標で (r, θ) とあらわされるなら

:$a\; =\; r\backslash cos\backslash theta,\backslash quad\; b\; =\; r\backslash sin\backslash theta,$

:$r=\backslash sqrt,\backslash \; \backslash theta\; =\; \backslash arctan\; \backslash left(\backslash right).$

が成り立つ。 r は z の絶対値 (r = |z|) である。 θ を偏角 (argument, amplitude) といい、「$\backslash arg\; z$」と書くこともある。z = 0 の時の偏角は任意の実数とする。

偏角 θ の単位をラジアンとするならば、これらの関係式とオイラーの公式から

:$z\; =\; a+ib\; =r\backslash cos\backslash theta\; +\; ir\backslash sin\backslash theta$

:$=\; r(\backslash cos\backslash theta+i\backslash sin\backslash theta)$

:$=\; re^$

という表示が得られる。r(cos θ + isin θ) あるいは re^iθ のような複素数の表示を極形式という。またこれを r∠θ のように表記する場合もあり、この表し方をフェーザ形式 () などと呼ぶ。極形式(またはフェーザ形式)に対して、a + ib のような表示形式を直交形式 () と呼ぶことがある。

極形式で表された 2 つの複素数 re^iθ, se^iφ の積は三角関数の加法定理により

:$(re^)(se^)\; =\; rse^e^$

:$=\; rs(\backslash cos\backslash theta\; +\; i\backslash sin\backslash theta)(\backslash cos\backslash varphi+i\backslash sin\backslash varphi)$

:$=\; rs\backslash$

:$=\; rs\backslash$

:$=\; rse^$

となり、絶対値はそれぞれの絶対値の積に、偏角はそれぞれの偏角の和になるということが分かる。すなわち、 se^iφ に対応するガウス平面上の点を原点の周りに θ ラジアンだけ回転し、原点からの距離を示す絶対値を r 倍して得られる点が、積 (re^iθ) (se^iφ) に対応する点となる。

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